Question

已知：二次函数的图象经过点A（1，0）和点B（2，1），且与y轴交点的纵坐标为m．（1）若m为定值，求此二次

已知：二次函数的图象经过点A（1，0）和点B（2，1），且与y轴交点的纵坐标为m．（1）若m为定值，求此二次函数的解析式；（2）若二次函数的图象与x轴还有异于点A的另一个交点，求m的取值范围；（3）若二次函数的图象截直线y=-x+1所得线段的长为 2 2 ，确定m的值．

Answer 1

（1）若m为定值，设二次函数解析式为y=ax 2 +bx+m， 把A（1，0）和B（2，1）代入上式，得 a+b+m=0 4a+2b+m=1 ， 解得 a= m+1 2 b= -3m-1 2 ， 则二次函数解析式为y= m+1 2 x 2 - 3m+1 2 x+m； （2）若二次函数的图象与x轴还有异于点A的另一个交点， 则 m+1 2 x 2 - 3m+1 2 x+m=0有两个不相等的实数根， 故△＞0， 即（- 3m+1 2 ） 2 -4× m+1 2 m＞0， 整理得，m 2 -2m+1＞0， （m-1） 2 ＞0， 解得m≠1； m+1 2 ≠0， 解得m≠-1； 则m的取值范围为m≠±1； （3）设二次函数y= m+1 2 x 2 - 3m+1 2 x+m的图象截直线y=-x+1所得线段为MN，且M（x 1 ，y 1 ），N（x 2 ，y 2 ）． 令 m+1 2 x 2 - 3m+1 2 x+m=-x+1， 整理，得（m+1）x 2 -- （3m-1）x+2m-2=0， ∴x 1 +x 2 = 3m-1 m+1 ，x 1 ?x 2 = 2m-2 m+1 ； ∴（x 1 -x 2 ） 2 =（x 1 +x 2 ） 2 -4x 1 ?x 2 =（ 3m-1 m+1 ） 2 -4× 2m-2 m+1 =（ m-3 m+1 ） 2 ； ∵y=-x+1， ∴y 1 -y 2 =（-x 1 +1）-（-x 2 +1）=-（x 1 -x 2 ）， ∴（y 1 -y 2 ） 2 =（x 1 -x 2 ） 2 =（ m-3 m+1 ） 2 ； 又∵MN=2 2 ， ∴（x 1 -x 2 ） 2 +（y 1 -y 2 ） 2 =（2 2 ） 2 ， ∴2（ m-3 m+1 ） 2 =8， ∴ m-3 m+1 =±2， ∴m 1 =-5，m 2 = 1 3 ． 故所求m的值为-5或 1 3 ．