已知函数f(x)=sinωx(ω>0)在区间 [0, π 3 ] 上单调递增,在区间 [ π 3 ,

已知函数f(x)=sinωx(ω>0)在区间[0,π3]上单调递增,在区间[π3,2π3]上单调递减;如图,四边形OACB中,a,b,c为△ABC的内角A,B,C的对边,... 已知函数f(x)=sinωx(ω>0)在区间 [0, π 3 ] 上单调递增,在区间 [ π 3 , 2π 3 ] 上单调递减;如图,四边形OACB中,a,b,c为△ABC的内角A,B,C的对边,且满足 sinB+sinC sinA = 4ω 3 -cosB-cosC cosA .(Ⅰ)证明:b+c=2a;(Ⅱ)若b=c,设∠AOB=θ,(0<θ<π),OA=2OB=2,求四边形OACB面积的最大值. 展开
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恋雨iwuyk
2014-09-08 · 超过82用户采纳过TA的回答
知道答主
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(Ⅰ)由题意知:
ω
=
3
,解得 ω=
3
2
…(2分)
sinB+sinC
sinA
=
2-cosB-cosC
cosA

∴sinBcosA+sinCcosA=2sinA-cosBsinA-cosCsinA,
∴sinBcosA+cosBsinA+sinCcosA+cosCsinA=2sinA,
∴sin(A+B)+sin(A+C)=2sinA…(4分)
∴sinC+sinB=2sinA,
∴b+c=2a…(6分)
(Ⅱ)因为b+c=2a,b=c,所以a=b=c,所以△ABC为等边三角形,
S OACB = S △OAB + S △ABC =
1
2
OA?OBsinθ+
3
4
A B 2
…(8分)
= sinθ+
3
4
(O A 2 +O B 2 -2OA?OBcosθ)
…(9分)
= sinθ-
3
cosθ+
5
3
4
= 2sin(θ-
π
3
)+
5
3
4
,…(10分)
∵θ∈(0,π),∴ θ-
π
3
∈(-
π
3
3
)

当且仅当 θ-
π
3
=
π
2
,即 θ=
6
时取最大值,S OACB 的最大值为 2+
5
3
4
…(12分)
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