Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tan（A+B）=2．（Ⅰ） 求sinC的值；（Ⅱ） 当a=1，c=

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tan（A+B）=2．（Ⅰ） 求sinC的值；（Ⅱ） 当a=1，c= 5 时，求b的值．

Answer 1

（Ⅰ） 在△ABC中，由于tan（A+B）=2 可得tanC=-2= sinC cosC ，从而求得sinC= 2 5 5 ，cosC=- 5 5 ．   …（6分） （Ⅱ） 由正弦定理 a sinA  =  c sinC 及sinC= 2 5 5  得sin A= 2 5 ， ∴sin B=sin （A+C）=sin A cos C+sin C cos A = 2 5 ×(- 5 5 ) + 2 5 5 × 21 5 = 2 5 ( 21 -1) 25 ， 再由正弦定理可得b= sinB sinC ?c = 105 - 5 5 ．     …（14分）