Question

设f（x）是定义域为R的周期函数，且f（x）最小正周期为2，且f（1+x）=f（1-x），当-1≤x≤0时，f（x）=-x

设f（x）是定义域为R的周期函数，且f（x）最小正周期为2，且f（1+x）=f（1-x），当-1≤x≤0时，f（x）=-x．（1）判定f（x）的奇偶性；（2）试求出函数f（x）在[-1，2]上的表达式．

Answer 1

（1）∵f（x）是R上的周期函数，最小正周期为2，且f（1+x）=f（1-x），
∴对于任意x∈R，都有f（1+x）=f（1-x）=f（1-x-2）=f（-1-x）=f（-（1+x）），
即f（-x）=f（x）；所以，f（x）是R上的偶函数；
（2）∵当-1≤x≤0时，f（x）=-x，
∴当0≤x≤1时，有-1≤-x≤0，
∴f（-x）=-（-x）=x，又f（x）是偶函数，∴f（-x）=f（x），∴f（x）=x；
当1≤x≤2时，有-1≤x-2≤0，且f（x）是最小正周期为 2的函数，
∴f（x）=f（x-2）=-（x-2）=-x+2；
∴f（x）在[-1，2]上的表达式为：f（x）=

?x      (?1≤x≤0) x         (0≤x≤1) ?x+2  (1≤x≤2)

；