Question

已知：矩形OABC的顶点O在平面直角坐标系的原点，边OA、OC分别在x、y轴的正半轴 上，且OA=3cm，OC=4cm，点

已知：矩形OABC的顶点O在平面直角坐标系的原点，边OA、OC分别在x、y轴的正半轴 上，且OA=3cm，OC=4cm，点M从点A出发沿AB向终点B运动，点N从点C出发沿CA向终点A运动，点M、N同时出发，且运动的速度均为1cm/秒，当其中一个点到达终点时，另一点即停止运动．设运动的时间为t秒．（1）当点N运动1秒时，求点N的坐标；（2）试求出多边形OAMN的面积S与t的函数关系式；（3）t为何值时，以△OAN的一边所在直线为对称轴翻折△OAN，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为菱形？

Answer 1

解答：解：（1）∵t=1∴CN=1，AM=1
过N作NE⊥y轴，作NF⊥x轴
∴△CEN∽△COA，∴

CN

CA

＝

EN

OA

，即

1

5

＝

EN

3

，∴EN=

3

5

．（1分）
由勾股定理得：CE＝

4

5

，EO＝4?

4

5

＝

16

5

，∴N(

3

5

，

16

5

)．（2分）

（2）由（1）得

CN

CA

＝

EN

OA

＝

CE

CO

，∴EN＝

3

5

t，CE＝

4

5

t
∴N点坐标为(

3

5

t，4?

4

5

t)．
∵多边形OAMN由△ONA和△AMN组成
∴S△ONA＝

1

2

OA?NF＝

3

2

(4?

4

5

t)=6?

6

5

t（3分）
S△AMN＝

1

2

AM?AF＝

t

2

(3?

3

5

t)=

3

2

t?

3

10

t2（4分）
∴多边形OAMN的面积S=?

3

10

t2+

3

10

t+6．
（0≤t≤4）（5分）


（3）①直线ON为对称轴时，翻折△OAN得到△OA′N，此时组成的四边形为OANA′，
当AN=A′N=A′O=OA，四边形OANA’是菱形．
即AN=OA，∴5-t=3∴t=2．（6分）

②直线OA为对称轴时，翻折△OAN得到△OAN′，
此时组成的四边形为ONAN′，连接NN′，交OA于点G．
当NN′与OA互相垂直平分时，四边形ONAN′是菱形．
即OA⊥NN′，OG=AG=

1

2

AO＝

3

2

，
∴NG∥CO，∴点N是AC的中点，
∴CN=

5

2

，∴t＝

5

2

（7分）

③直线AN为对称轴时，翻折△OAN得到△O′AN，
此时组成的四边形为ONO′A，连接OO’，交AN于点H．
当OO′与AN互相垂直平分时，四边形ONO’A是菱形．
即OH⊥AC，AH=NH=

1

2

AN＝

5?t

2

，
由面积法可求得OH=

12

5

，
在Rt△OAH中，由勾股定理得，AH=

9

5

．
∴

5?t

2

＝

9

5

，∴t＝

7

5

．（8分）
综上所述，t的值为2，

5

2

或

7

5

．