如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．（1）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．（1）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；（2）点M在线段PC上，PM=tPC...
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．（1）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；（2）点M在线段PC上，PM=tPC，试确定t的值，使PA∥平面MQB；（3）在（2）的条件下，若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，求二面角M-BQ-C的大小．
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解答：（1）证明：连BD，
∵四边形ABCD菱形，∠BAD=60°，∴△ABD为正三角形，
∵Q为AD中点，∴AD⊥BQ
∵PA=PD，Q为AD的中点，∴AD⊥PQ
又BQ∩PQ=Q，∴AD⊥平面PQB，AD?平面PAD
∴平面PQB⊥平面PAD；
（2）当t=
时，使得PA∥平面MQB，
连AC交BQ于N，交BD于O，连接MN，则O为BD的中点，
又∵BQ为△ABD边AD上中线，∴N为正三角形ABD的中心，
令菱形ABCD的边长为a，则AN=
a，AC=
a．
∴PA∥平面MQB，PA?平面PAC，平面PAC∩平面MQB=MN
∴PA∥MN
∴
=
=
即：PM=
PC，t=
；
（3）由PA=PD=AD=2，Q为AD的中点，则PQ⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，所以PQ⊥平面ABCD，
以Q为坐标原点，分别以QA、QB、QP所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的坐标系，则各点坐标为A（1，0，0），B（0，
，0）），Q（0，0，0），P（0，0，
）
设平面MQB的法向量为
＝(x，y，1)，可得
，
而PA∥MN，∴
，∴y=0，x=
∴
＝(
，0，1)
取平面ABCD的法向量
∵四边形ABCD菱形，∠BAD=60°，∴△ABD为正三角形，
∵Q为AD中点，∴AD⊥BQ
∵PA=PD，Q为AD的中点，∴AD⊥PQ
又BQ∩PQ=Q，∴AD⊥平面PQB，AD?平面PAD
∴平面PQB⊥平面PAD；
（2）当t=
| 1 |
| 3 |
连AC交BQ于N，交BD于O，连接MN，则O为BD的中点，
又∵BQ为△ABD边AD上中线，∴N为正三角形ABD的中心，
令菱形ABCD的边长为a，则AN=
| ||
| 3 |
| 3 |
∴PA∥平面MQB，PA?平面PAC，平面PAC∩平面MQB=MN
∴PA∥MN
∴
| PM |
| PC |
| AN |
| AC |
| 1 |
| 3 |
即：PM=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
（3）由PA=PD=AD=2，Q为AD的中点，则PQ⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，所以PQ⊥平面ABCD，
以Q为坐标原点，分别以QA、QB、QP所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的坐标系，则各点坐标为A（1，0，0），B（0，
| 3 |
| 3 |
设平面MQB的法向量为
| n |
|
而PA∥MN，∴
|
| 3 |
∴
| n |
| 3 |
取平面ABCD的法向量
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