Question

已知函数f(x)=-x³+ax²-4 在x=2处取得极值,若m,n∈[-1,1 ],则f(m)+f

已知函数f(x)=-x³+ax²-4 在x=2处取得极值,若m,n∈[-1,1 ],则f(m)+f’(n)的最小值是多少， 麻烦详细点，只能解到a=3然后就不知道怎么做了，高二导数

Answer 1

1. 求导：f'(x)=-3x³+2ax=x(2a-3x) 已知x=2处取得极值，由于不存在不可导点，故x=2一定为驻点（一阶导数为0的点），即f'(2)=2(2a-6)=0,可求得a=3.

2. 由⒈f(x)=-x³+3x²-4

   f'(x)=3x(2-x),另一个驻点是x=0

   f''(x)=-6x+6

   f''(0)=6>0 ,f''(2)=-6<0 可见x=0是极小值点、x=2是极大值点

   （二阶导数值>0的驻点是极小值点，二阶导数值<0的驻点是极小值点,二阶导数值=0的驻点可能不是极值点，如y=x³）

   ∴区间[-1,1 ]内f(x)的最小值=f(0)=-4

3. 

   f'(x)=-3x²+6x=-3(x-1)²+3,抛物线开口向下，对称轴x=1，区间在对称轴的左侧，f'(x)在区间单调递减，最小值=f'(-1)=-9

4. 显然f(m)+f'(n)≥f(0)+f'(-1)=-13,即f(m)+f'(n)的最小值=-13.

   
   

Answer 2

易知f'(x)=-3x²+2ax
f'(2)=0,∴a=3.
∴x∈（-1,0）,单调递减
x∈（0,1）,单调递增
所以0是一个极小值点,也是[-1,1]上的最小值,为-4
所以m,n∈[-1,1 ],则[f(m)+f(n)]min=2*-4=-8

追问

这个网上也有，我自己也能搜，看不懂才来问的为什么-1到0是递减，0到1是递增

追答

课本上有介绍，你自己看看，学了太久都忘了，递增递减课本上绝对有介绍

Answer 3

Answer 4

先利用导数求出 f(m)的最小值，再把求导后的f(x）再次求导求出f’(n)的最小值

追问

额，求出f(m)的极值是2，但m和n的范围是-1到1那该怎么求啊

追答

书上应该有，列出图表