Question

一道复数题

a、b、m为复数，且|a|＞| b | ,n=(a*m+b)/(b拔*m+a拔 )。拔指共轭复数。
如果|m |<1,证明：|n |<1;
如果a=1-ti,b=ti,t为实数，且|m-1/ 2|<1/2,证明：|n-1/ 2|<1/2。
此题为华东师范大学第二附属中学（理科班用）课本中的一道课后练习题。
按照教材例题中的思路，第一问我做出来了 （如下，其中利用|n|^2=n*n拔是关键），但第二问我做不出来，思路都找不到。
|n|^2=n*n拔=（|a|^2*|m|^2+|b|^2+b*a拔*m拔+b拔*a*m）/（|b|^2*|m|^2+|a|^2+b*a拔*m拔+b拔*a*m）
上式中，可以容易证明，分母-分子>0，且分母、分子都大于0，故第一问得证。

Answer 1

你哪来的题呀。。。。

先算
|n|= |am+b|/|b拔m+a拔|=|am+b|/|bm拔+a|
=|m+b/a|/|(b/a)m拔+1|

令c=b/a,由|c|<1 |n|=|m+c|/|cm拔+1|
现在只需要证 |m+c|² < |cm拔+1|²
设m=u+vi , c =s+ti ，u,v,s,t都实数
代入上面那个不等式有整理，可以得到一个等价不等式
(a²+b²)+(c²+d²)< 1+(s²+t²)(u²+v²)
注意到a²+b²<1 ,c²+d²<1,令k=a²+b² ,l=c²+d²
由 k<1 , l<1
那么需要证 k+l < 1+kl
只需要 k(1-l) < 1-l
只需要 k<1.
所以，将上述过程逆推，就可以得到|m+c|² < |cm拔+1|²
所以1小题得证