设e^z-xyz=0,求(偏z^2/偏x偏y)
e^z - xyz = 0
e^z(∂z/∂x) = yz + xy(∂z/∂x)
令z' = ∂z/∂x = yz/(e^z - xy) = yz/(xyz - xy) = z/(xz-x) = [z/(z-1)](1/x)
∂²z/∂x²
= dz'/dx
= (1/x)[z'(z-1)-zz']/(z-1)² - (1/x²)[z/(z-1)]
= -z'/[x(z-1)²] - z/[(z-1)x²]
将z'代入就有
∂²z/∂x² = -z/[x²(z-1)³] - z/[(z-1)x²] = -(z/x²)[1/(z-1)³ + 1/(z-1)]
扩展资料
偏导拍李迅数的求法
函数 z=f(x,y) 在 (x0,y0)的两个偏导数 f'x(x0,y0) 与 f'y(x0,y0)都存在时,我们称 f(x,y) 在 (x0,y0)处可导。如果函数 f(x,y) 在域 D 的每一点均可导,那么称函数 f(x,y) 在域 D 可导。
此时,对应于域 D 的每一点袭此 (x,y) ,必有一个对 x (对 y )的偏导数,因而在域 D 确定了一个新的二元函数,称为 f(x,y) 对 x (对 y )的偏导函数。简称偏导数。
按偏导数的定义,将多元函数关于一个自变量求偏导数时,就将其余的扰尘自变量看成常数,此时他的求导方法与一元函数导数的求法是一样的。
参考资料来源:百度百科——偏导数
记F(x,y,z)=e^z-xyz;则有F分别对x、y、z的偏导数依次是:F`x=-yz;F`y=-xz;F`z=e^z-xy。
所以∂z/∂x=-F`x/F`z=yz/(e^z-xy)=yz/(xyz-xy)=z/(xz-x);∂z/∂y=-F`y/F`z=xz/(e^z-xy)=xz/镇亮亏(xyz-xy)=z/(yz-y)
二阶混合偏导数可由一阶对x的偏导数对y求偏导,即:∂²z/∂x∂y=[(∂z/∂y)·(xz-x)-z(x∂z/∂y)]/(xz-x)^2
将∂z/∂y=-Fy/Fz=z/(yz-y)带入上式即可得到:
键埋 ∂²z/∂x∂y=-z/[xy(z-1)^3]
本题是隐函数的混合偏导数的求解。设方程F(x,y,z)=0确定隐函御神数z(x,y),若F`z≠0,则:∂z/∂x=-F`x/F`z=;∂z/∂y=-F`y/F`z。