Question

相似矩阵为什么有相同的特征多项式

Answer 1

因为矩阵A的特征多项式就是
f(x)=|xI-A|，其中||是行列式，而I是与A同阶的单位阵，设矩阵B与A相似，即存在同阶可逆矩阵T,使得 B=T^(-1)AT，这里
T^(-1) 是矩阵T的逆，根据特征多项式的定义，B的特征多项式为g(x)=|xI-B|。

设A,B都是n阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使P^(-1)AP=B，则称B是A的相似矩阵, 并称矩阵A与B相似，对进行运算称为对进行相似变换。

扩展资料：

n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量。 定理的证明过程实际上已经给出了把方阵对角化的方法。

若n阶矩阵A有n个相异的特征值，则A与对角矩阵相似。对于n阶方阵A，若存在可逆矩阵P， 使其为对角阵，则方阵A可对角化。

参考资料来源：百度百科-相似矩阵

Answer 2

A=PBP^{-1} => λI-A=P(λI-B)P^{-1} => det(λI-A)=det(λI-B)det(P)det(P^{-1})

Answer 3

|λE-B|=|λE-P(-1)AP|=|P(-1)(λE-A)P|=|λE-A|