Question

在直角三角形ABC中，角C=90°，BE平分角ABC交AC与点E，点D在AB边上且DE⊥BE

在直角三角形ABC中，角C=90°，BE平分角ABC交AC与点E，点D在AB边上且DE⊥BE
（1）判断直线AB与三角形DBE外接圆的关系，并说明理由
（2）若AD=6,AE=6根号2，求三角形DBE外接圆半径的长

Answer 1

(1).相切
解：设BD中点为O，连接OE
∵E和B都是圆上的点
∴OE=OB
∴∠OEB=∠OBE
又∵BE平分∠ABC
∴∠OBE=∠CBE
即∠OEB=∠CBE
∴OE//BC(内错角相等，两直线平行)
∵BC⊥AC
∴OE⊥AC
又∵OE是半径
∴E是切点，AC是圆O的切线。

(2).解：
∵AC是圆O的切线
∴∠AED=∠ABE(弦切角定理)
在△AED和△ABE中：
∵∠A=∠A，∠AED=∠ABE
∴△AED∽△ABE
∴AE/AB=AD/AE
即AB*AD=AE²
∴AB=AE²÷AD=12
∴直径BD=AB-AD=6
∴外接圆的半径长3

Answer 2

(1).相切
解：设BD中点为O，连接OE
∵E和B都是圆上的点
∴OE=OB
∴∠OEB=∠OBE
又∵BE平分∠ABC
∴∠OBE=∠CBE
即∠OEB=∠CBE
∴OE//BC(内错角相等，两直线平行)
∵BC⊥AC
∴OE⊥AC
又∵OE是半径
∴E是切点，AC是圆O的切线。

(2).解：
∵AC是圆O的切线
∴∠AED=∠ABE(弦切角定理)
在△AED和△ABE中：
∵∠A=∠A，∠AED=∠ABE
∴△AED∽△ABE
∴AE/AB=AD/AE
即AB*AD=AE²
∴AB=AE²÷AD=12
∴直径BD=AB-AD=6
∴外接圆的半径长3