Question

矩阵的初等变换问题

有参数的矩阵初等变换问题

Answer 1

1 矩阵的初等变换

定义 下面三种变换称为矩阵的初等行变换：

1．
互换两行（记 ）；

2．
以数 乘以某一行（记
）；

3．
把某一行的
倍加到另一行上（记 ）。

若将定义中的“行”换成“列”，则称之为初等列变换，初等行变换和初等列变换统称为初等变换。

定义 若矩阵
经有限次初等行变换变成矩阵 ，则称 与 行等价，记
；

若矩阵 经有限次初等列变换变成矩阵 ，则称 与 列等价，记
；

若矩阵 经有限次初等变换变成矩阵
，则称 与 等价，记
。

等价关系满足：

1．
反身性： ；

2．
对称性： ；

3．
传递性： 。

例 用初等行变换解线性方程组：

解 （称
是该线性方程组的增广矩阵）

, （
称为行阶梯形矩阵）

，（
称为行最简形矩阵）

对应的线性方程组为

取
，则

即

对 矩阵 ，总能经若干次初等行变换和初等列变换变成如下形式

， （称之为标准形）。