Question

求数学达人请教几道题！

1、证明对称矩阵是正定矩阵的充要条件是它的特征值都是正数！！！！
2、设向量组a1，a2，a3线性无关。证明向量组a1+a3,a2+a3,a3也线性无关！

Answer 1

1.高等代数上有个定理：对于任意一个n级实对称矩阵A都存在一个n级正交矩 阵T，使T'AT成对角型，而对角线上的元素就是它的特征根。由此纤顷拍，开证，
（1）充分性：当对称矩阵A的特征根都为正数时，对角型矩阵T'AT对角线上的元素均为正数，所以T'AT为正定矩阵，又T为正交阵，所以A是正定阵。
（2）必要性：由于对称矩阵A是正定矩阵，所以存在一个正交矩阵T，使T'AT成乎腔对角型的对角线上的元素均为正值毁羡，而对角线上的元素又为A的所有特征值，即A的特征值均为正数。
2.用反正法。假设向量组a1+a3,a2+a3,a3线性相关，则存在不全为零的三个数，K1,K2,K3使K1(a1+a3)+K2(a2+a3)+K3a3=0,整理得
K1a1+K2a2+（K1+K2+K3）a3=0，因为K1,K2,K3不全为零，则K1,K2,K1+K2+K3也不全为零，即向量组a1，a2，a3线性相关，与已知矛盾。则假设不成立，命题得证。