Question

判别平行四边形 一初二题

如图，平行四边形ABCD，E,F分别是对角线AC延长线上的一点，且DE=BF，四边形BFDE是平行四边形吗，说说理由。

Answer 1

证明：连结BD交AC于O，过B做BG⊥AC于G，过D做BH⊥AC于H。
那么，在△BGO与△DHO中，
∠BOG=∠DOH，
∠BGO=90°=∠DHO，
BO=DO，
∴△BGO≌△DHO，
∴BG=DH，
OG=OH……①。
在Rt△EDH和Rt△FBG中，DE=BF，DH=BG，
∴HE=GF（勾股定理）……②。
结合①②，得OE=OF。
从而四边形BFDE的对角线互相平分，所以是平行四边形。

其实如果学过正弦定理就更简单了。
DC/sin∠DEC=DE/sin∠DCE，
BA/sin∠BFA=BF/sin∠BAF，
由于CD=AB，DE=BF，∠DCE=∠BAF，所以∠DEC=∠BFA，从而BF//DE，一组对边平行且相等，下略。

Answer 2

证明：连结BD交AC于O，过B做BG⊥AC于G，过D做BH⊥AC于H。
那么，在△BGO与△DHO中，
∠BOG=∠DOH，
∠BGO=90°=∠DHO，
BO=DO，
∴△BGO≌△DHO，
∴BG=DH，
OG=OH……①。
在Rt△EDH和Rt△FBG中，DE=BF，DH=BG，
∴HE=GF（勾股定理）……②。
结合①②，得OE=OF。
从而四边形BFDE的对角线互相平分，所以是平行四边形。