Question

高数二阶导证明问题

已知函数f（x）在[0,1]上连续，在（0,1）上二阶可导，f（0）=f（1）=0，且曲线y=f（x）与直线y=x当x∈（0,1）是有交点，证明：在（0,1）内至少存在一点ξ使得f''(ξ)<0

Answer 1

因为曲线y=f（x）与直线y=x当x∈（0,1）是有交点，即存在c∈（0,1），使得f(c)=c；
于是由微分中值定理有
f(c)-f(0)=cf'(ξ1);ξ1∈(0,c);得到f'(ξ1)=f(c)/c=1;
同样
f(1)-f(c)=(1-c)f'(ξ2);ξ2∈(c,1);得到f'(ξ2)=-f(c)/(1-c)=-c/(1-c)=1-1/(1-c)<1;
综上：存在ξ1∈(0,c),使得f'(ξ1)=1；
存在ξ2∈(c,1)，使得f'(ξ2)<1；
因为f二阶可导，再用微分中值定理
存在ξ∈(ξ1,ξ2)，使得
f'(ξ2)-f'(ξ1)=(ξ2-ξ1)f''(ξ);
即f''(ξ)=[f'(ξ2)-f'(ξ1)]/(ξ2-ξ1)<0