Question

设二次函数f（x）=a*x2+b*x+c对于一切实数x∈[-1,1],都有∣f(x)∣≤1，求证：对于一切x∈[-1,1]都有∣2*a*

设二次函数f（x）=a*x2+b*x+c对于一切实数x∈[-1,1],都有∣f(x)∣≤1，求证：对于一切x∈[-1,1]都有∣2*a*x+b∣≤4。

Answer 1

解析：

由已知得

－1≤f(－1)≤1，－1≤f(1)≤1，－1≤f(0)≤1

而对于函数g(x)＝2ax＋b

当a＞0时，函数g(x)是增函数，有g(－1)≤g(x)≤g(1)

又g(1)
＝2a＋b
＝1/2[3(a＋b＋c)＋(a－b＋c)－4c]
＝1/2[3f(1)＋f(－1)－4f(0)]
≤1/2[3×1＋1－4×(－1)]
＝4

g(－1)
＝－2a＋b
＝－1/2[(a＋b＋c)＋3(a－b＋c)－4c]
＝－1/2[f(1)＋3f(－1)－4f(0)]
≥－1/2[1＋3×1－4×(－1)]
＝－4

∴－4≤g(x)≤4

从而|g(x)|≤4，即|2ax＋b|≤4

当a＜0时，类似可得|2ax＋b|≤4

当a＝0时，
|2ax＋b|
＝|b|
＝1/2|(a＋b＋c)－(a－b＋c)|
≤1/2|a＋b＋c|＋1/2|a－b＋c|
≤1/2|f(1)|＋1/2|f(－1)|
≤1

综上所述，对于一切x∈[－1，1]，都有|2ax＋b|≤4

谢谢

Answer 2

1