Question

已知函数f(x)的定义域为(-2,2),函数g(x)=f(x-1)+f(3-2x).

(1)求函数g(x)的定义域
(2)若f(x)是奇函数且在定义域内单调递减,求不等式g(x)<=0的解集
过程谢谢

Answer 1

1.-2<x-1<2,-1<x<3
-2<3-2x<2,1/2<x<5/2
综上，定义域为(1/2,5/2)
2.g(x)=f(x-1)+f(3-2x)≤0
f(x-1)≤-f(3-2x)=f(2x-3) （因为是奇函数）
x-1≥2x-3 （因为是增函数）
x≤2
又因为1/2<x<5/2
所以1/2＜x≤2 ,解集为(1/2,2]

Answer 2

解：（1）∵数f（x）的定义域为（-2，2），函数g（x）=f（x-1）+f（3-2x）．
∴ -2＜x-1＜2 -2＜3-2x＜2 ，∴1 2 ＜x＜5 2 ，函数g（x）的定义域（1 2 ，5 2 ）．
（2）∵f（x）是奇函数且在定义域内单调递减，不等式g（x）≤0，
∴f（x-1）≤-f（3-2x）=f（2x-3），∴ -2＜x-1＜2 -2＜2x-3＜2 x-1＞2x-3 ，
∴1 2 ＜x＜2，
不等式g（x）≤0的解集是 （1 2 ，2）．

Answer 3

（1）g(x)的定义域由
{-2<x-1<2,
{-2<3-2x<2确定。
解得1/2<x<5/2.
(2)g(2)=f(1)+f(-1)=0,
g(x)<=0=g(2),g(x)↓，
∴{x|2<=x<5/2},为所求。

Answer 4

（1）由已知，-3<2x-1<3且-3<x-3<3,解得g(x)的定义域为（0，2）。
（2）因为f(x)是奇函数且单调递减，所以g（x）也是单调递减函数且f(0)=0,且当x>0时，f(x)<0.
当2x-1=/x-3/时，g（x）=0，解得x=-2（舍）或x=4/3。
故当2>x>4/3,g(x)<0.