1-1+1-1+1-1+1... 这个无穷数列的值是什么？如何证明？
1、格兰迪级数 1 − 1 + 1 − 1 + … 的和不存在。
2、格兰迪级数1 − 1 + 1 − 1 + … 的和为1/2。
证明：针对以下的格兰迪级数
1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + …
一种求和方式是求它的裂项和：
(1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + … = 0 + 0 + 0 + … = 0.
但若调整括号的位置，会得到不同的结果：
1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + … = 1 + 0 + 0 + 0 + … = 1.
用不同的方式为格兰迪级数加上括号进行求和，其级数和可以得到0或是1的值。
格兰迪级数为发散几何级数，若将收敛几何级数求和的方式用在格兰迪级数，可以得到第三个数值：
S = 1 − 1 + 1 − 1 + …，因此
1 − S = 1 − (1 − 1 + 1 − 1 + …) = 1 − 1 + 1 − 1 + … = S，即
2S = 1，
可得到S = 1/2。
扩展资料
数列的特征：
数列中的项必须是数，它可以是实数，也可以是复数。
用符号{an}表示数列，只不过是“借用”集合的符号，它们之间有本质上的区别：1.集合中的元素是互异的，而数列中的项可以是相同的。2.集合中的元素是无序的，而数列中的项必须按一定顺序排列，也就是必须是有序的。
著名的数列有斐波那契数列，三角函数，卡特兰数，杨辉三角等。
项数有限的数列为“有穷数列”（finite sequence）。
项数无限的数列为“无穷数列”（infinite sequence）。
你是在哪个领域接触到的这个问题呢？
一般情况下，我们说这个级数是发散的，无法求和。（通俗地说，级数就是数列的和）
一个级数能求和，当且仅当它是收敛的。
一个收敛级数，必要条件当n趋向∞时，an趋向于0。
而你这个数列显然不满足，因而不收敛，也就无法求和。
上面我们说了，这是一般情况，
另一方面，如果允许按某种特定的要求去求和的话，它是存在结果的，
例如，按照【欧拉和】或者【切萨罗和】的要求，
这个无穷级数的值均为1/2，也就是【二分之一】。
比较容易证明：
(1+x)(1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+...)=1
于是，1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+...=1/(1+x)
将x=1代入，
即可得到，
1-1+1-1+1-1+1-1+...=1/(1+1)=1/2
限于百度粘贴外来网址可能导致无法通过，我发张截图你看看吧。
建议点击放大看原图。
【经济数学团队为你解答！】
这个叫格兰迪级数，具体可自行百度. 下面给出我的证明. 首先，这个无穷数列有两个值可取，分别是0、-1，证明见下图.
所以，值只能为0或1，且各占50%的概率. 则值为0×50%+1×50%=0.5 以上计算过程可以理解为加权平均数求值（这个不解释，自行百度），得到该级数（无穷数列）的值为0.5
证明:对于任意充分大m=2k,n=2k+1,|x2k-x2k+1|=1>ε，故该数列发散。
等于无数
