Question

已知数列an满足An+1=an/f(n)an+1且a1=4. (1)当f(n)=1时，求证数列1/

已知数列an满足An+1=an/f(n)an+1且a1=4. (1)当f(n)=1时，求证数列1/an是等差数列.(2)当f(n)=2n时，求数列an的通项公式

Answer 1

解：
(1)
f(n)=1时，a(n+1)=an/(an+1)
1/a(n+1)=(an+1)/an=1/an +1
1/a(n+1)-1/an=1，为定值
1/a1=¼，数列{1/an}是以¼为首项，1为公差的等差数列
1/an=¼+1·(n-1)=(4n-3)/4
an=4/(4n-3)
n=1时，a1=4/(4-3)=4，同样满足表达式
数列{an}的通项公式为an=4/(4n-3)
(2)
f(n)=2n时，a(n+1)=an/(2nan+1)
1/a(n+1)=(2nan+1)/an=1/an +2n=1/an +(n+1)²-n²-1
[1/a(n+1) -(n+1)²]-(1/an -n²)=-1，为定值
1/a1 -1²=¼ -1=-¾，数列{1/an -n²}是以-¾为首项，-1为公差的等差数列
1/an -n²=-¾ +(-1)(n-1)=¼-n
1/an=n²-n+¼=(n-½)²
an=(n-½)⁻²
n=1时，a1=(1-½)⁻²=4，同样满足表达式
数列{an}的通项公式为an=(n-½)⁻²

Answer 2

f（n）an＋1都是分母吗