Question

一道高数题

设a,b,c为任意实数。证明：方程e^x=ax^2 + bx + c的实根不会超过三个。 求完整解答！
应该用到罗尔中值定理的。

Answer 1

我用罗尔给你证一次吧。
令f(x)=e^x-ax^2 - bx - c
用反证法，如果方程有三个以上解，
那么f(x)至少有4个0点，从小到大设为m1,m2,m3,m4
使得f(m1)=f(m2)=f(m3)=f(m4)=0
那么由罗尔中值定理
有存在s1,s2,s3 满足 m1<s1<m2<s2<m3<s3<m4,使得
f'(s1)=f'(s2)=f'(s3)=0
那么同样存在u1,u2，s1<u1<s2<u2<s3使得
f''(u1)=f''(u2)=0

就是说f''(x)有两个零点。

但f''(x)=e^x-2 是一个单调函数，不可能有两个零点，所以矛盾
故f(x)至多3个0点

所以，命题得证

Answer 2

你直接画个图去看看，一看就明白的。e^x是单调递增的函数，f(x)=ax^2 + bx + c先递增后递减或者先递减后递增。数形结合是最好的方法~~~

Answer 3

数形结合是解本题的最简单方法

图一画，结果就出来了！！！！！！