Question

在△ABC中，若（a-ccosB）sinB=（b-ccosA）sinA,判断△ABC的形状

Answer 1

解：
由正弦定理得：
(sinA-sinCcosB)sinB=(sinB-sinCcosA)sinA
sinAsinB-sinBcosBsinC=sinAsinB-sinAcosAsinC
sinC(sinAcosA-sinBcosB)=0
C为三角形内角，sinC恒>0，因此只有
sinAcosA=sinBcosB
A、B为三角形内角，sinA>0，sinB>0，因此cosA与cosB同号
三角形至多有一个钝角，因此只有A、B均为锐角

sin(2A)=sin(2B)
2A=2B
A=B
三角形是等腰三角形。

追问

用边的方法怎么证

追答

由正弦定理、余弦定理，得：
[a- c·(a²+c²-b²)/(2ac)]·b=[b-c·(b²+c²-a²)/(2bc)]·a
b(2a²c-a²c-c³+b²c)/(2ac)=a(2b²c-b²c-c³+a²c)/(2bc)
b²(a²c-c³+b²c)=a²(b²c-c³+a²c)
a²b²c-b²c³+b⁴c=a²b²c-a²c³+a⁴c
-b²c²+b⁴=-a²c²+a⁴
a²c²-b²c²-a⁴+b⁴=0
c²(a²-b²)-(a²+b²)(a²-b²)=0
(a²-b²)(c²-a²-b²)=0
(a+b)(a-b)(a²+b²-c²)=0
(a-b)(a²+b²-c²)=0
a=b，a²+b²≠c²或a≠b，a²+b²=c²或a=b且a²+b²=c²
三角形是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形。

开始的解法遗漏了直角三角形的情况，复查了一下，是有这种可能的。
用边的方法解，确实不容易遗漏。结论是：等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形。