Question

定积分证明题，求思路清晰的步骤

Answer 1

约定:∫[a,b]表示[a,b]上的定积分

因为
∫[0,2π](sinx+x)f(x)dx
=∫[0,π](sinx+x)f(x)dx+∫[π,2π](sinx+x)f(x)dx
而∫[π,2π](sinx+x)f(x)dx 设x=t+π
=∫[0,π](sin(t+π)+(t+π))f(t+π)d(t+π)
=∫[0,π](-sint+t+π)f(t)dt (由周期性f(t+π)=f(t))
=∫[0,π](-sinx+x+π)f(x)dx
得∫[0,2π](sinx+x)f(x)dx
=∫[0,π](sinx+x)f(x)dx+∫[0,π](-sinx+x+π)f(x)dx
=∫[0,π](sinx+x-sinx+x+π)f(x)dx
=∫[0,π](2x+π)f(x)dx
所以 ∫[0,2π](sinx+x)f(x)dx=∫[0,π](2x+π)f(x)dx

希望能帮到你！