Question

当x→x0时，lim g(x)=0 lim f(x)为一常数，求lim f(x)/lim g(x)

Answer 1

设limf=A，limg=B≠0。
任给d>0，
因为limf=A，所以存在r>0，
当|x-x0|<r时，成立|f-A|<d①
同理，存在s>0，当|x-x0|<s时，成立|g-B|<d②
因为limg=B≠0，所以存在t>0，当|x-x0|<t时，
成立|g|>|B|/2③【见极限保号性处】
取u=min{r，s，t}，则当|x-x0|<u时，①②③都成立。
而|f/g-A/B|=|（Bf-Ag）/gB|
=|（Bf-BA+BA-Ag）/gB|
《（|B||f-A|+|A||g-B|）/|g||B|
<2（|B|d+|A|d）/|B|²=Cd。
其中C=2（|B|+|A|）/|B|²>0。