Question

已知，如图，抛物线y＝x2＋px＋q与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA≠OB，OA＝OC，设抛物线的顶点为

已知，如图，抛物线y＝x2＋px＋q与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA≠OB，OA＝OC，设抛物线的顶点为点P，直线PC与x轴的交点D恰好与点A关于y轴对称．
（1）求p、q的值．
（2）在题中的抛物线上是否存在这样的点Q，使得四边形PAQD恰好为平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）连结PA、AC．问：在直线PC上，是否存在这样点E（不与点C重合），使得以P、A、E为顶点的三角形与△PAC相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

图片在http://wenku.baidu.com/view/bb47a84e852458fb770b5696.html倒数第二题

Answer 1

（1）
在抛物线y=x^2+px+q中
当x=0时，y=q. 即：C点的坐标为（0，q)。
因为：OA=OC,D点与A点关于y轴对称。
所以：A点的坐标为（q,0)；D点的坐标为（-q,0)。
将A(q,0)代人y=x^2+px+q中得：0=q^2+pq+q
即：q(q+p+1)=0
所以：q=0,(不符合题意，舍去。）
q+p=-1———————————————①
现在求点P的坐标，即抛物线y=x2+px+q顶点的坐标：
横坐标：-（p/2)；纵坐标：（4q-p^2)/4.
即:点P的坐标为[-（p/2),(4q-p^2)/4]
再求直线CD的解析式： 设直线CD的方程为y=kx+b
因为直线CD过C(0,q)、D(-q,0)两点，所以有方程组
q=b, 0=-qk+b.
解得：k=1, b=q.
所以直线CD的解析式为：y=x+q.
因为点P[-（p/2),(4q-p^2)/4]在直线CD上，
所以 4q-p^2)/4=-（p/2)+q
解得： q=0(不符合题意，舍去）
q=2————————————————②
又已经求得的①、②两等式得：p=2,q=-3.
因此;p、q的值分别为 2和-3.

（2）
因为：p=2,q=-3.
所以：抛物线y=x2+px+q的解析式为y=x^2+2x-3,A、D、C、P四点的坐标分别为（-3，0）、（3，0）、（0，-3）、（-1，-4）。
在第一问中已经求得直线CD的方程式为y=x+q,因此将q=-3代人得：
y=x-3(这是直线CD的解析式）
设：过A点与直线CD平行的直线AQ的方程为：
y=x+b(因两直线平行，所以一次项系数相等）
因为点A（-3，0）在直线AQ上，将其代人y=x+b中得：0=-3+b,解得：b=3
所以:直线AQ的方程为：y=x+3
下面求直线AQ（y=x+3)与抛物线y=x^2+2x-3的交点Q的坐标：
解方程组y=x^2+2x-3，y=x+3。得x1=2,y=5；x2=-3,y2=0.
即：两交点为A(-3,0)；Q(2,5).
下面再求A、Q两点距离和PD两点距离：从图形可知
｜AQ｜=√[5^2+(2+3)^2]=5√2
｜PD｜=√(4^2+4^2)=4√2
所以｜AQ｜≠｜PD｜
这说明AQ与PD不相等，所以在抛物线y=x2+px+q上不存在满足四边形APDQ是平行四边形的Q点。

（3）
存在E点，且E点坐标为（9，6）。
具体求解过程如下：
设E点是直线PC上的点，且满足AE垂直AP
求直线AP的方程，设直线AP的方程为y=kx+b
因为A(-3,0)，P（-1，-4）两点在直线AP上，所以有方程组
0=-3k+b,-4=-k+b.解得：k=-2,b=-6.
所以直线AP的方程式为:y=-2x-6
因为直线AE垂直直线AC,所以两直线一次项系数之积等于-1
所以，设直线AE方程式为y=(1/2)x+b
A（-3，0）点在直线AE上，所以有0=（1/2）*（-3）+b 即b=3/2
所以直线AE的方程式为y=(1/2）x+3/2
直线AE与直线CD相交于E点，解两直线方程组成的方程组：
y=(1/2）x+3/2，y=x-3。解得：x=9,y=6.
即E点的坐标为（9，6）。
在三角形ACD中，因为OA=OD=OC,AD垂直CO
所以角ACD是直角，
在直角三角形APE中，AC是斜边PE上的高
所以△APC∽△EPA

Answer 2

qwe