Question

证明不等式

证明不等式已知实数a、b使得对任意实数x,不等式cos(asinx)>sin(bcosx)恒成立.证明:a^2+b^2<π^2/4.

Answer 1

cos(asinx)>sin(bcosx)=cos(π/2-bcosx)，
上式恒成立，则依余弦函数单调性知
0<acosx<π/2-bsinx<π/2，
即acosx+bsinx<π/2.
设f(x)=acosx+bsinx，
以上不等式恒成立，则最大值
f(x)|max<π/2.
而f(x)=acosx+bsinx
=√(a²+b²)cos(x-φ)
(其中，tanφ=b/a)
可见，cos(x-φ)=1时，
最大值f(x)|max=√(a²+b²).
∴√(a²+b²)<π/2，
上式两边平方，即得a²+b²<π²/4。