Question

已知函数f(x)=lg(1-x)-lg(1+x)

已知函数f(x)=lg(1-x)-lg(1+x).
（1）求函数f(x)的定义域
（2）判断函数f(x)的奇偶性
（3）若a,b属于（-1,1），求证：f(a)+f(b)=f[(a+b)/(1+ab)]

Answer 1

(1)1-x>0,1+x>0,所以-1<x<1.
(2)f(-x)=lg(1+x)-lg(1-x)=-f(x),而-1<x<1,所以是奇函数.
(3)f[(a+b)/(1+ab)]=lg[1-(a+b)/(1+ab)]-lg[1+(a+b)/(1+ab)]=
lg(ab-a-b+1)-lg(ab+a+b+1)=lg(a-1)(b-1)-lg(a+1)(b+1)
=lg(a-1)-lg(a+1)+lg(b-1)-lg(b+1)=f(a)+f(b)
其中:1+ab>0,(a+1)(b+1)>0,(1-a)(1-b)>0,所以-(1+ab)<a+b<1+ab,
所以-1<(a+b)/(1+ab)<1.