Question

如图，在三角形ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若B、P在直线a的异侧，BM⊥直线a于点M，CN⊥直线

如图，在三角形ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若B、P在直线a的异侧，BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，连接PM、PN；（1）延长MP交CN于点E。求证：三角形BPM≌三角形CPE；PM＝PN

Answer 1

如图1，在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若B、P在直线a的异侧，BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，连接PM、PN；

(1) 延长MP交CN于点E(如图2)。j 求证：△BPM@△CPE；k求证：PM = PN ；

(2) 若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点B、P在直线a的同侧，其它条件不变。此时PM=PN还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

(3) 若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时，其它条件不变。请直接判断四边形MBCN的形状及此时PM=PN还成立吗？不必说明理由。

答案：

(1) 证明：j 如图2，∵BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，

∴ÐBMN=ÐCNM=90°，∴BM//CN，∴ÐMBP=ÐECP，

又∵P为BC边中点，∴BP=CP，又∵ÐBPM=ÐCPE，∴△BPM@△CPE，

k ∵△BPM@△CPE，∴PM=PE，∴PM=1/2 ME，∴在Rt△MNE中，PN=1/2 ME，

∴PM=PN；

(2) 成立，如图3，

证明 延长MP与NC的延长线相交于点E，∵BM^直线a于点M，CN^直线a于点N，

∴ÐBMN=ÐCNM=90°，∴ÐBMN+ÐCNM=180°，∴BM//CN，∴ÐMBP=ÐECP，

又∵P为BC中点，∴BP=CP，又∵ÐBPM=ÐCPE，∴△BPM@△CPE，∴PM=PE，

∴PM=1/2 ME，则在Rt△MNE中，PN=1/2 ME，∴PM=PN。

(3) 四边形MBCN是矩形，PM=PN成立。
继续追问： 第三个问的理由能给我吗？谢谢 补充回答：
如图4，∵BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，MN//BC ，

∴BM=CN

又∵P为BC边中点，∴BP=CP，∴△BPM@△CPE，

∴PM=PN。

Answer 2

如图1，在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若B、P在直线a的异侧，BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，连接PM、PN；

(1) 延长MP交CN于点E(如图2)。j 求证：△BPM@△CPE；k求证：PM = PN ；

(2) 若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点B、P在直线a的同侧，其它条件不变。此时PM=PN还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

(3) 若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时，其它条件不变。请直接判断四边形MBCN的形状及此时PM=PN还成立吗？不必说明理由。

答案：

(1) 证明：j 如图2，∵BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，

∴ÐBMN=ÐCNM=90°，∴BM//CN，∴ÐMBP=ÐECP，

又∵P为BC边中点，∴BP=CP，又∵ÐBPM=ÐCPE，∴△BPM@△CPE，

k ∵△BPM@△CPE，∴PM=PE，∴PM=1/2 ME，∴在Rt△MNE中，PN=1/2 ME，

∴PM=PN；

(2) 成立，如图3，

证明 延长MP与NC的延长线相交于点E，∵BM^直线a于点M，CN^直线a于点N，

∴ÐBMN=ÐCNM=90°，∴ÐBMN+ÐCNM=180°，∴BM//CN，∴ÐMBP=ÐECP，

又∵P为BC中点，∴BP=CP，又∵ÐBPM=ÐCPE，∴△BPM@△CPE，∴PM=PE，

∴PM=1/2 ME，则在Rt△MNE中，PN=1/2 ME，∴PM=PN。

Answer 3

∵P为BC的中点 ∴BP=CP 又∵BM⊥a，CN⊥a ∴BM‖CN ∴∠CBM=∠NCP
又∵在三角形BPM≌三角形CPE中 ∠BPM=∠EPC,BP=CP ∠CBM=∠NCP
∴三角形BPM≌三角形CPE

∵三角形BPM≌三角形CPE∴MP=PN ∴P为ME的中点。又∵CN⊥直线a ∴三角形MNE是直角三角形 ∴PM=PN

Answer 4

（1) 证明：j 如图2，∵BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，

∴ÐBMN=ÐCNM=90°，∴BM//CN，∴ÐMBP=ÐECP，

又∵P为BC边中点，∴BP=CP，又∵ÐBPM=ÐCPE，∴△BPM@△CPE，

k ∵△BPM@△CPE，∴PM=PE，∴PM=1/2 ME，∴在Rt△MNE中，PN=1/2 ME，

∴PM=PN；

Answer 5

如图2，∵BM^直线a于点M，CN^直线a于点N，
∴？BMN=?CNM=90°，∴BM//CN，∴？MBP=?ECP，
又∵P为BC边中点，∴BP=CP，又∵？BPM=?CPE，∴△BPM@△CPE，
k ∵△BPM@△CPE，∴PM=PE，∴PM= ME，∴在Rt△MNE中，PN= ME，
∴PM=PN；