Question

设x1=√2,x2=√(2+√2),...xn=√（2+xn-1）,证明limn→∞xn存在，并求之

Answer 1

约定[]表示下标，即x[1],x[2]……x[n-1],x[n]

⒈证明有界性，使用数学归纳法
①x[1]<2
②假设x[n-1]<2（n≥2）
x[n]=√(2+x[n-1])<√(2+2)=2，即x[n]<2
由①、②知，对于n≥1，均有x[n]<2

⒉证明单调性
x[n]-x[n-1]=√(2+x[n-1])-x[n-1]<√(2+2)-x[n-1]=2-x[n-1]>0（n≥2）
即x[n]>x[n-1]（n≥2）
故x[n]单调递增

由⒈⒉知，lim{n→∞}x[n]存在

⒊设y[n]=x[n]/2=cos(θ[n])
y[1]=x[1]/2=√2/2=cos(θ[1])，θ[1]=π/4
y[n]=x[n]/2=√(2+x[n-1])/2=√(2+2y[n-1])/2=√[(1+y[n-1])/2]（n≥2）
cos(θ[n])=√{[1+cos(θ[n-1])]/2}
这是半角公式，故θ[n]=θ[n-1]/2
由此可得θ[n]=π/4*(1/2)^(n-1)=π/2^(n+1)
y[n]=cos(θ[n])=cos[π/2^(n+1)]（n≥1）
故x[n]=2cos[π/2^(n+1)]（n≥1）
lim{n→∞}x[n]=lim{n→∞}2cos[π/2^(n+1)]=2cos0=2

回答完毕，谢谢！