Question

待定系数法求函数解析式 高一数学

已知f（x)是二次函数,且f(x+1)+f(x-1)=2x^2-4x+4，求f(x)

解答：设f(x)=ax^2+bx+c,
f(x+1)+f(x-1)=2ax^2+2bx+2a+2c=2x^2-4x+4
对应得a=1, b=-2, c=1
所以f(x）=x^2-2x+1

其中f(x+1)+f(x-1)=2ax^2+2bx+2a+2c=2x^2-4x+4这一步谁能帮我分解下？过程怎么详细怎么来啊...我脑子不好使。谢谢了啊！
我算了半天不知道2a哪来的。

Answer 1

f(x)=ax^2+bx+c
f(x+1)=a(x+1)^2+b(x+1)+c=ax^2+a+2ax+bx+b+c
f(x-1)=a(x-1)^2+b(x-1)+c=ax^2+a-2ax+bx-b+c
f(x+1)+f(x-1)= 2ax^2+2a+2bx+2c
f(x+1)+f(x-1)=2ax^2+2bx+2a+2c=2x^2-4x+4
2a=2 a=1
2b=-4 b=-2
2a+2c=4
a=1, b=-2, c=1
明白了吗

Answer 2

f(x+1)=a(x+1)^2+b(x+1)=c=ax^2+(2a+b)x+b+c
f(x-1)=a(x-1)^2+b(x-1)=c=ax^2-(2a-b)x-b+c
两式相加，即得