Question

已知函数y=√1-x+√x+3的最大值为M,最小值为m,则m/M的值为

已知函数y=√1-x+√x+3的最大值为M,最小值为m,则m/M的值为

要详细过程谢谢
啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊yongyifang963那些我还没学到呢

Answer 1

你上高中了，第一个方法怎么会没有学习呢？三角代换没有学习吗？
初等办法一：y=√1-x+√x+3 两边同时除以y
(y≠0想想为什么？)变为1=√(1-x)/y +√（x+3）/y 到此就可以知道怎么用三角代换了，令√(1-x)/y =sin²a, （主要是使用1=sin²a + cos²a）
√（x+3）/y=cos²a 两个式子平方去掉根号后再相加，化简后有，4=y²（1-2sin²acos²a）于是Y²=4/（1-2sin²acos²a）=4/[1-（sin²2a）/2)]，当sin²2a=1时（也就是a=45°，取最大值）y²=8 于是 M=y=2√2 ，当sin²2a=0时 （也就是a=0°，取最小值）y²=4 于是 m=y=2 所以结果为 m/M=1/√2

又想出几种初等方法,这些都是利用三角函数的有界性求出最大值最小值的，所谓初等方法就是没有使用高等数学的知识，高中生能懂得。
办法2：由于y=√1-x+√x+3的定义域为{x|-3≤x≤1}。所以考虑变量替换令
x=-3+4sin²a 其中a∈[0°，90°]即x∈[-3，1] 于是将x代入y=√1-x+√x+3 中，有 y=2cosa +2sina=2（cosa+sina）=2√2cos(a-45°)（其中 -45°≤a-45°≤45°）所以最大值为2√2 ，最小值为2
注意 本来sina、cosa要带绝对值的，但是a∈[0°，90°]，所以它们都是非负数 这个方法总结如下：当x∈[a，b] 求y=√b-x+√x-a 的最大值和最小值时，可以令x=a-(a-b)sin²q 其中 q∈[0°，90°]，因为这样刚好可以去掉根号，而且x的取值范围也没有改变。

办法3：用微分法，求一阶导数求出驻点和导数不存在的点 为x=-3 ,x=-1,x=1 这些点都在本函数的定义域-3≤x≤1内 ，且在定义域内函数是连续的，所以根据闭区间上的连续函数有最大值和最小值的定理就知道 最后只需要 比较函数在这三个点处的值就能找出最大值为2√2 ，最小值为2，所以m/M=1/√2