Question

设f（x）=mx2+3（m-4）x-9

设f（x）=mx2+3（m-4）x-9
（1）判断函数f（x）的零点个数
（2）若f（x)有两个零点，确定m的值，使f（x）的两个零点的距离最小，并求出这个距离的最小值
（3）若m=1时，x属于[0,2]上存在x使f（x）-a>0成立，求a的取值范围

Answer 1

解：（1）当m=0时，f（x）=-12x-9，函数的零点为x=-

34，即函数只有一个零点
当m≠0时，△=9（m-4）²+36m=（m-2）²+12＞0
∴函数f（x）的零点的个数为2
故当m=0时，函数f（x）的零点的个数为1；当m≠0时，函数f（x）的零点的个数为2
（2）若函数f（x）有两个零点x₁，x₂，则m≠0，
x₁+x₂=12−3mm，x₁•x₂=−9m
∴d=|x₁-x₂|=(x1+x2) 2−4x1x2=(12−3mm) 2+36m=12(1m−18) 2+364≥12×364=332  （m=8时取等号）
∴d=|x₁-x₂|的最小值为332；
（3）若m=1，则f（x）=x²-9x-9
∴不等式f（x）-a＞0对x∈[0，2]恒成立，即x²-9x-9＞a对x∈[0，2]恒成立
只需f（x）在[0，2]上的最小值大于a
∵f（x）=x²-9x-9=（x-92）²-1174≥f（2）=-23
∴a＜-23

格式有点不对，甩个网址http://www.jyeoo.com/math2/ques/detail/a01f2535-19aa-4696-b682-7f2e1ab61bc4