Question

已知函数f x =(1+x)\(1-x)*e^-ax (1)设a》0.讨论单调性

Answer 1

（1）f(X)的定义域为（-∞，1）∪（1，+∞）
f(x)’=（ax^2+2-a)/(1-x)^2*e^-ax
①当a=2时， f(x)’=2x^2/(1-x)^2*e^-2x>0,为增函数
②当0<a<2时，f(x)’>0为增函数
③当a>2时，0<(a-2)/a<1,令f(x)’=0，得x1=-√(a-2)/a; x2=√(a-2)/a,经讨论可知
f(x)在(-∞,-√(a-2)/a),(√(a-2)/a,1),(1,+∞）为增函数
在（-√(a-2)/a，√(a-2)/a）为减函数
（2）①当0<a≤2时，由（1）知，对任意x∈(0,1),恒有f(x)>f(0)=1
②当a>2时，取x0=1/2√(a-2)/a,则由（1）知f(x)<f(0)=1
③当a≤0时，对任意x∈(0,1)时，恒有（1+x)/(1-x)>1,且e^-ax≥1
得f(x)=(1+x)/(1-x)*e-ax≥(1+x)/(1-x)>1
∴当且仅当a∈(-∞,2)时，对任意x∈(0,1)时，恒有f(x)>1