Question

微分方程dy/dx=xy/(x²-y²)满足条件y(0)=1的特解为？

Answer 1

简单分析一下，答案如图所示

Answer 2

令u=y/x,则原方程为
u＋xdu/dx＝u/(1-u^2)
即dx/x＝（1-u^2）du/u^3
两边同时积分得
∫dx/x=∫du/u^3-∫du/u
即lnx=-1/（2u^2）-lnu＋C
移项lnxu＝-1/（2u^2）＋C
即 xu=e^[-1/（2u^2）＋C]
将u=y/x代回
y＝e^[-x^2/（2y^2）＋C]
又代入y(0)=1得
C=0
故 y＝e^[-x^2/（2y^2)]

Answer 3

∵dy/dx＝xy/（x^2－y^2），∴dx/dy＝（x^2－y^2）/（xy）＝x/y－y/x＝x/y－1/（x/y）。
令x/y＝u，则：x＝uy，∴dx/dy＝u＋ydu/dy＝u－1/u，∴ydu/dy＝－1/u，
∴udu＝－（1/y）dy，∴2udu＝－2（1/y）dy，∴d（u^2）＝－2d（ln｜y｜），
∴u^2＝－2ln｜y｜＋C＝ln（1/y^2）＋C，
∴（x/y）^2＝－ln（y^2）＋C。
∵当x＝0时，y＝1，∴C＝0，∴给定的微分方程的特解是：（x/y）^2＋ln（y^2）＝0。

追问

能否再请教一下 教材书上xdu/dx=u³/(1-u³)是为什么变化到Cux=e^(-1/2u²)的呢 谢谢

追答

答案给错了！［也许是你抄写有误。］
∵xdu/dx＝u^3/（1－u^3），∴［（1－u^3）/u^3］du＝（1/x）dx，
∴（1/u^3－1）du＝（1/x）dx，∴∫（1/u^3－1）du＝∫（1/x）dx，
∴－1/（2u^2）－u＝lnx＋C，
∴lnx＋C＋u＝－1/（2u^2），
∴e^（lnx＋C＋u）＝e^［－1/（2u^2）］，
∴［e^（lnx）］·e^C·e^u＝e^［－1/（2u^2）］，
∴C·e^u·x＝e^［－1/（2u^2）］。

追问

谢谢老师！