Question

求所有正整数a,b,c，使(a＋b+c)被abc整除

Answer 1

已知正整数a,b,c满足a+b的平方-2c-2=0,3a的平方-8b+c=0,则有 消去c得： 6a+a+b-16b-2=0 即6a+a+（b-8）=66 得正整数解为a=3，b=5或a=3，b=11 当a=3，b=5时c=13，abc=195 当a=3，b=11时c=61，abc=2013 则abc的最大值为2013

Answer 2

考虑整除的一个不等式，有
abc | a+b+c 有 abc<=a+b+c
由于对称性，不妨假设a<=b<=c, 那么可以证明当a>=3时方程没有正整数解。
从而a=1或者2，从而实现了减少变量的功效，从而问题变得简单，剩下的很容易完成，故不再赘述，值得一提的是这和计算机中的分支定界的思想有相似指出，都是从局部解入手讨论范围。