Question

已知函数f(x)=a(x-1)-3㏑x(a≥0) 1:讨论f(x)的单调性

已知函数f(x)=a(x-1)-3㏑x(a≥0)
1:讨论f(x)的单调性2:当f(x)有最小值，且最小值大于6-2a时，求a的取值范围

Answer 1

1.
对数有意义，x>0，函数定义域为(0，+∞)
f'(x)=[a(x-1)-3lnx]'=a- 3/x
分类讨论：
(1)
a=0时，-3/x恒<0，f'(x)在(0，+∞)上单调递减
(2)
a>0时，令f'(x)≥0，得a- 3/x≥0
x≥3/a，函数f(x)在(0，3/a]上单调递减，在[3/a，+∞)上单调递增。
2.
f(x)有最小值，则a>0
f(x)min=f(3/a)
f(x)min>6-2a，则f(3/a)>6-2a
a(3/a -1)-3ln(3/a)>6-2a
a+3lna>3+3ln3
令g(a)=a+3lna，(a>0)
g'(a)=1+3/a>0，g(a)在(0，+∞)上单调递增，又a=3时，a+3lna=3+3ln3
因此a>3
a的取值范围为(3，+∞)

Answer 2

f'(x)=a-3/x
（1）a=0, f(x)<0, 减函数

（2）a≠0
f'(x)=0
a-3/x=0
x=3/a
x>3/a, 增函数
x<3/a, 减函数

Answer 3

如图所示