Question

如图 等腰梯形abcd中 AD//BC,AD=3cm BC=7cm,∠B=60°点P为下底BC上的一点(不与B、C重合)

。等腰梯形ABCD中，AD//BC,AD=3cm BC=7cm,∠B=60°点P为下底BC上的一点(不与B、C重合)连结AP，过D作PE交DC于E，使∠APE=∠B
（1、证△ABP∽△PCE
（2、底边BC上是不是存在一点P，使DE:EC=5:3,如果存在，求BP的长，若不存在，请说明理由

Answer 1

（1）证明： ∵ ABCD是等腰梯形
∴ ∠B = ∠C ①
又∵ ∠B + ∠BAP = ∠APC
∠B = ∠APE = 60°
∴ ∠APE + ∠BAP = ∠APC
又 ∠APE + ∠CPE = ∠APC
∴ ∠BAP = ∠CPE ②
由①②可得 △ABP∽△PCE
（2）假若存在这样的一点P 那么DE:EC=5:3
过A作AM⊥BC交BC于M ，过D作DN⊥BC交BC于N
∴MN=AD=3 ，AM=NC
∴2AM=BC-MN=4 ∴AM=2
在直角△ABM中 ∠B = 60°，AM=2
∴AB=2*根号3 除以 3 由等腰梯形可得AB=DC
（由于符号不好书写，所以下面我给你简单分析一下）
因为 DC 我们知道，DE:EC=5:3 所以我们可以算出EC 的值 ，从(1)中我们知道△ABP∽△PCE，所以EC:PB=PC:AB ③,又PB+PC=BC=7④的，我们用③④两式可得出以PB和PC为未知数的方程组，如果这个方程组有解则存在这样的一点P，BP我们通过方程组可求出，如果这个方程组没解，则不存在这样的点P
你自己求求，加油！

Answer 2

（1）证明：由∠APC为△ABP的外角得∠APC=∠B+∠BAP；
∵∠B=∠APE
∴∠EPC=∠BAP
∵∠B=∠C
∴△ABP∽△PCE；
（2）解：过A作AF⊥BC于F；
∵等腰梯形ABCD中，AD=3cm，BC=7cm，
∴BF=7-3 /2 =2cm，
Rt△ABF中，∠B=60°，BF=2；
∴AB=4cm；
（3）解：存在这样的点P．
理由是：∵
DE：EC=5：3DE+EC=DC=4
解之得EC=3 / 2 cm．

设BP=x，则PC=7-x
由△ABP∽△PCE可得
AB / PC =BP /EC ，
∵AB=4，PC=7-x，

∴4 /7-x =/32
解之得x1=1，x2=6，
经检验都符合题意，
即BP=1cm或BP=6cm．