Question

微分中值定理与导数的应用中的一道题

设f（x）在[0,1]上连续，在（0，1）内可导，且f（0）=0，f（1）=1，试证明对任意给定的正数a及b，在（0，1）内存在不相等的x1，x2，使
a/f‘（x1）+b/f’（x2）=a+b
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Answer 1

由于a>0,b>0,因而有0<a/a+b<1,即f(0)<a/a+b<f(1),由连续函数的介值定理有
f(c)=a/a+b,0<c<1 （1）
对f(x)在[0,c]与[c,1]上分别应用拉格朗日中值定理，有
f(c)-f(0)=f‘(x1)c, 0<x1<c<0
f(1)-f(c)=f‘(x2)(1-c),0<c<x2<1
即f(c)-f(0)=f‘(x1)c （2）
1-f(c)=f‘(x2)(1-c) （3）
由（1）和（2）得c=[a/f‘(x1)]*(1/a+b) (4)
把（1）和（4）代入（3），得
b/(a+b)=f‘(x2)[a+b-a/f‘(x1)]*(1/a+b)
整理化简即b/f‘(x2)=a+b-a/f‘(x1),因此
a/f‘(x1）+b/f‘(x2)=a+b