Question

9.求下列齐次方程的解: dy/dx=2xy/（x2+y2）

Answer 1

∵dy/dx＝2xy/（x^2＋y^2）＝2/（x/y＋y/x），∴2dx/dy＝x/y＋y/x。
令x/y＝u，则：x＝uy，dx/dy＝u＋ydu/dy，∴2u＋2ydu/dy＝u＋1/u，
∴2ydu/dy＝1/u－u＝（1－u）/u，∴2［u/（1－u）］du＝（1/y）dy，
∴－2［1＋1/（u－1）］du＝（1/y）dy，
∴－2∫du－2∫［1/（u－1）］du＝∫（1/y）dy，∴－2u－2ln｜u－1｜＝ln｜y｜＋C，
∴ln｜y｜＋2ln｜x/y－1｜＋2x/y＋C＝0，
∴2ln｜x－y｜－ln｜y｜＋2x/y＋C＝0。
∴原微分方程的通解是：2ln｜x－y｜－ln｜y｜＋2x/y＋C＝0。