Question

证明极限存在，并求其极限

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Answer 1

设数列an; a1=√2， an=√(2+a(n-1))

证明极限存在，必须证明数列单调有界。
先证有界，容易猜想√2<=an<=2，下面用数学归纳法证明
当n=1，显然满足；
假设当n=k时，有√2<=ak<=2成立，则
当n=k+1时，a(k+1)=√(2+ak)>√2,
且a(k+1)=√(2+ak)<=√(2+2)=2
因此当n=k+1时，也满足√2<=a(k+1)<=2
故即证√2<=an<=2，数列an有界
a(n+1)-an=√(2+an)-an=(2+an-an²)/[√(2+an)+an]>=0
因此数列an单调增。
故数列an单调有界，an收敛，极限存在。设
lim a(n+1)=lim an=a
则a=√(2+a)，求得a=2