Question

证明函数f(x)=x平方+1在(0,+∞)是增函数，想要整个过程。帮忙证明一下，谢谢

证明函数f(x)=x平方+1在(0,+∞)是增函数，想要整个过程。帮忙证明一下，谢谢明函数f(x)=x平方+1在(0,+∞)是增函数

Answer 1

那就只好用函数的单调性来推导了。（微积分估计还没学）
在定义域里设任意固定的两个不同的数
0<a<b,
f（a）-f（b）
=a²-b²=（a+b）（a-b）,
由于a+b＞0,
a-b＜0,
所以可得到
f（a）-f（b）<0,
由于它们是定义域上任意固定的数。所以根据函数单调性的定义，可知（0, +∞）区间上，函数是增函数。

Answer 2

设0<x1<x2，那么f(x1)-f(x2)=(x1²+1)-(x2²+1)=x1²-x2²=(x1-x2)(x1+x2)
∵0<x1<x2，∴x1-x2<0，x1+x2>0，∴(x1-x2)(x1+x2)<0，∴f(x1)-f(x2)<0
∴f(x1)<f(x2)，而0<x1<x2，∴f(x)在(0,+∞)上是增函数

Answer 3

f(x)=x²+1 且x∈(0，＋∞)
∴f’(x)=2x (x＞0)
又∵f’(x)＞0
∴f(x)在定义域内单调递增