立体几何大题

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霓屠Cn
2018-03-28 · 知道合伙人教育行家
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(I)证明:见第一个图。作射线BG交PC于E,连结CE;在△ABG和△DBE中,因为BD=2AD,AB=3AD; G是△PBC的重心,所以BD=2EG,AB=3EG;BG/BE=BD/BA,∠ABE=∠DBG(公共角); 所以△ABG∽△DBE ;∠BGD=∠BEA,所以DG//AE(同位角相等)AE是平面PAC内的线段,所以DG//平 面PAC。证毕。

(II)设∠EHB=a,因AC=PC=3,△ACP是顶点为C的等腰三角形,因为AB是圆的直径,△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形。隐辅助线作EH⊥PA角PA于H,连结CQ,则因CQ是等腰三角形底边上的高,E是PC的中点,H是PQ的中点(EH//QC);连结BH;则平面BEH⊥平面ABP(包含△ABQ);作EJ⊥HB交HB于J,作GI⊥HB交HB于I,则GI为所求。CQ^2=PC^2-PQ^2=3^2-1=8; QB^2=QC^2+CB^2=8+4^2=24; BH^2=HQ^2+BQ^2=1/4+24; BE^2=EC^2+BC^2=(3/2)^2+4^2=16+9/4; 

cos∠EHB=(HE^2+BH^2-BE^2)/[2(CQ/2)*BH]=(8/4+1/4+24-16-9/4)/√[8*(1/4+24)]=4/√97 ; EJ=EH*cos∠EHB=(CQ/2)*cosa=(√8/2)*(4/√97)=4√2/√97; GI=2/3EJ=8√2/3√97=8√194/291。

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