Question

当x趋于无穷时，arctanx/x的极限等于多少？

Answer 1

1. 当 x→ -∞，arctanx → -π/2 ，原式 = (-π/2) / (-∞) = 0

2. 当x→+∞,arctanx → π/2 ，原式 = (π/2) / (+∞) = 0

3. 所以 原式 = 0

4. 事实上，-π/2 < arctanx < π/2 ，是有界的

5. 而分母 x是无穷，有界 / 无穷 = 0

无极限：

有时用到：x趋向正无穷时，e^x趋向无穷；

x趋向负无穷时，e^x趋向0；

x趋向无穷（没有指明正还是负无穷）时，e^x无极限

Answer 2

极限是0.

|arctanx|<π/2<2
故0≤|arctanx/x|<2/|x|

lim{x->∞}0=0
lim{x->∞}2/|x|=0
由夹逼定理知
lim{x->∞}|arctanx/x|=0
所以lim{x->∞}arctanx/x=0

Answer 3