Question

设函数f(x)和g(x)均在X0某一邻域内有定义,f(x)在X.处可导,f(x0)=0,g(x)在

设函数f(x)和g(x)均在X0某一邻域内有定义,f(x)在X.处可导,f(x0)=0,g(x)在设函数f(x)和g(x)均在X0某一邻域内有定义,f(x)在X.处可导,f(x0)=0,g(x)在X0处连续,试讨论f(x)g(x)在X0处的可导性

Answer 1

如图所示

Answer 2

可导

要证f(x)g(x)在x0处可导,根据定义,即要证明:
lim(x→x0)[f(x)g(x)-f(x0)g(x0)]/(x-x0)存在
而因f(x0)=0,并且g(x)在x0处连续
∴lim(x→x0)[f(x)g(x)-f(x0)g(x0)]/(x-x0)
=lim(x→x0)f(x)g(x)/(x-x0)
=lim(x→0)f(x)/(x-x0)*lim(x→x0)g(x)
=g(x0)*lim(x→x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)
=g(x0)*f'(x0)

得证