Question

大学高数求解

第四题怎么判断它是发散的，后来为啥又条件收敛了

Answer 1

首先，题主要弄清楚绝对收敛和条件收敛的概念差别。绝对收敛是原级数各项取绝对值所构成的正项级数收敛，如果这个构成的正项级数收敛，则原级数(非正项级数)必定收敛，简单的说，(原)级数能够绝对收敛，则(原)级数一定收敛。至于这定理的证明过程可参考高等数学书籍。而条件收敛则是(原)级数各项取绝对值所构成的正项级数发散，而(原)级数本身却是收敛的。弄清楚了就好办。首先，题目中(原)级数各项取绝对值后所得的级数是发散的，因此原级数肯定不是绝对收敛，现在考察原级数本身，这是一个交错级数，而根据判定交错级数收敛的莱布尼茨定理，原交错级数满足判定收敛的两个条件，前项绝对值大于等于后项绝对值和一般项趋于零，因此原级数交错收敛，也是条件收敛，不是绝对收敛。