解：（1）见下图1.作DI⊥DC于I，得矩形DFCI，PC=GI;GI//AD;这样的题用三角函数做题比较简单，只是担心你看不明白。我采用几何做法。AE=√(AD^2+DE^2)=√(2^2+1)=√5;
在Rt△ADE和Rt△DGE中，因为∠AED=∠DEG（公共角）；所以Rt△ADE∽Rt△DGE。则AE/DE=AD/DG=DE/GE;DG=DE*AD/AE...(i); GE/DE=DE/AE...(ii);同理Rt△GEI∽Rt△DGE;
则GI/DG=GE/DE；PC=GI=DG*GE/DE=(DE*AD/AE)(DE/AE)=(1*2/√5)(1/√5)=2/5。
（2）依题意，完善图形，见图①；以PC为半径作圆C，分别交DC和DC延长线于K和J；作AFM与圆C相切于M,连结CM，得CM⊥AM；作DH⊥AM于H，得CM//DH，AHGD四点共圆；连结MJ，MK，作DS//MJ交MK延长线于S，则DGSM四点共圆。作MU//AE,交DG延长线于U，则DU⊥KU;得DHUSM五点共圆。这是一个典型的直角三角形的旋转形式。
因为∠CMJ=∠CJM(等腰三角形)=∠AMS(弦切角)=∠HDS=∠SDK=2∠HMU=2∠UMS；
因为∠GAM=∠EAM=∠BDH=∠CDM，所以Rt△DHM是等腰Rt△。
延长DM交圆C于T，延长MC交圆C于V，得等腰Rt△MVT，MT=(√2/2)(2/5)*2=2√2/5,根据切割线定理，有：DK*DJ=DM*DT;
即（DC-KC)(DC+KC)=DC^2-KC^2=DM(DM+MT);设正方形的面积为S；
S=DC^2=DM(DM+MT)+KC^2=6√2/5(6√2/5+2√2/5)+(2/5)^2=12*8/25+4/25=4(24+1)/25=4。
（3）见图2，因为PC/DF=√2/4；所以∠FDJ=∠QDJ=π/8(计算过程略);作GN⊥AF于N；延长DH交AE于J，连结JF，则JF⊥DC；连结JQ，JQ⊥DQ,则DQJF四点共圆；∠GDJ=∠GQJ，所以Rt△QNG∽Rt△DEG∽Rt△AED；则GN/DE=QN/AD=QG/AE=5/36；
注：这里实在是看不清楚，只能猜想是5/36；因为2，3，6，8，9都可以与36约分；如果错了，你可以自己该过重新做，我主要解释过程和解题思路。
同理：QG/DE=GN/GE； QG=DE*GN/GE=(36/5)GN........(3-1)
GN=(1/√5)DE=(1/5)AE.....(3-2)
AE=QG*AD/QN=(36/5)QG=(36/5)^2GN=(36/5)^2(1/5)/AE;
则AE^2=(36/5)^2(1/5), AE=36√5/25
这里求BC*QG=AE的最大值，叫人摸不着头绪；AE是定值，怎能有最大最小值？是不是AF？
