Question

高等数学求帮忙？

第五题，如何证明F(x)连续，谢谢大家

Answer 1

只要考察x=0的连续性就可以了,其他地方连续你都知道的对吧?因为下界是-1,那我就任取一个包含0的闭区间,比如[-1,1],研究F(x)在上面的连续性就好了.当然了,f(x)在[-1,1]上可积,所以F(x)在[-1,1]上有定义这个不用多说.
其实只要f(x)在[a,b]上可积,即F(x)在[a,b]上有定义,那麼不管[a,b]中间有多少个间断点,也不管间断点是什麼类型的,F(x)一定在[a,b]上连续.
由区间可加性,F(x+h)-F(x)=∫[x,x+h]f(t)dt

又由可积的必要条件,f(x)在[a,b]上可积则f(x)在[a,b]上有界,所以f(x)在[a,b]上有上下确界,不妨设为m和M
於是由积分中值定理,上式右边=f(ξ)*h,其中ξ∈[m,M],
令h→0,F(x+h)-F(x)=f(ξ)*h→0,於是F(x)连续

Answer 2

一个函数在定义域内连续和一个函数在定义域内可导，互为充要条件。F（x）在定义域内可导，所以F（x）在定义域内连续。