Question

急 微积分问题

急 微积分问题积分 1/（x-2）^2（x+3）^2
提示 设u=x-2/x+3

Answer 1

1/[(x-2)^2.(x+3)^2]
=1/(x^2+x -6)^2
=1/[ (x+1/2)^2 - 25/4]
let
x+ 1/2 = (5/2) secu
dx = (5/2) secu.tanu du
∫ dx/[(x-2)^2.(x+3)^2]
=∫ dx/(x^2+x-6)^2
=∫ (5/2) secu.tanu du/[ (25/4)(tanu)^4 ]
=(2/5) ∫ secu/(tanu)^3 du
=(2/5) ∫ (cosu)^2/(sinu)^3 du
=(2/5) ∫ (cotu)^2 .cscu du
=(2/5) ∫ [ (cscu)^2-1] .cscu du
=(2/5) ∫ (cscu)^3 du - (2/5)ln|cscu -cotu|
=(1/5) [-cscu.cotu + ln|cscu-cotu| ] - (2/5)ln|cscu -cotu| + C
=(1/5) [-cscu.cotu - ln|cscu-cotu| ] + C

where

x+ 1/2 = (5/2) secu
secu = (2x+1)/5
cosu = 5/(2x+1)
sinu = [2.√(x^2 +x -6)]/(2x+1)
consider
∫ (cscu)^3 du
=-∫ cscu dcotu
=-cscu.cotu -∫ (cotu)^2. cscu du
=-cscu.cotu -∫ [ (cscu)^2 -1]. cscu du
2∫ (cscu)^3 du =-cscu.cotu + cscu du
∫ (cscu)^3 du
=(1/2)[-cscu.cotu + ln|cscu-cotu| ] +C

追问

我想知道提示那个怎么用

追答

u=(x-2)/(x+3)

   = 1 - 5/(x+3)

1/(x+3) = (1/5)(1-u)

du = [5/(x+3)^2] dx

∫ dx/[(x-2)^2.(x+3)^2]

分子分母同时除以 (x+3)^4

=∫  { [1/(x+3)^4 ]/[(x-2)/(x+3)]^2    } dx

=(1/5) ∫  { [1/(x+3)^2 ]/[(x-2)/(x+3)]^2    }  { [5/(x+3)^2] dx  }

=(1/5) ∫  { [  (1/5)(1-u) ]^2/u^2    }  du

=(1/125)  ∫  [ (1-u)^2/u^2 ] du

=(1/125)  ∫  [ 1/u^2 - 2/u + 1] du

=(1/125)    [ -1/u - 2ln|u|  + u ] +C

=(1/125)    [ -(x+3)/(x-2) - 2ln|(x-2)/(x+3)|  + (x-2)/(x+3) ] +C

where

u=(x-2)/(x+3)

Answer 2

方法如下图所示，
请认真查看，
祝学习愉快，
学业进步！

满意请釆纳！