Question

数学三角形的最小周长是多少

Answer 1

a^2+b^2-c^2=2abcosc=-1/2
化简得100=c^2+ab
又a+b大于等于两倍根号ab
两边平方后
带入前式化简得c方大于等于75
所以最小为
10+根号75等于
10+5根号3

Answer 2

2x^2-3x-2=0,
(2X+1)(X-2)=0,
X1=-1/2,X2=2,
则cosC=-1/2,
C=120度,
cos120=(a^2+b^2-c^2)/2ab=-1/2.
(a+b)^2-c^2=ab,
(a+b+c)(a+b-c)=ab,
令,Y=a+b+c,有
Y=ab/(a+b-c)=ab/(10-c),
要使Y最小,c就必须最小,则a,b就必须有最大值.
a+b≥2√ab,(a>0,b>0,)当且仅当a=b时,ab有最大值,即a+b=10=2a,a=5.
cosC=cos120=(a^2+b^2-c^2)/2ab,
c^2=2*5^2-2*5*5*(-1/2)=25*3,
c=5√3.
Y=ab/(a+b-c)=ab/(10-c),
=25/(10-5√3)=10+5√3.
三角形ABC周长的最小值为:10+5√3.

Answer 3

cosC=-1/2
（2舍）C=2π/3
10=a+b=c/(根号3/2)
*
sinA
+
c/(根号3/2)
*sin(π/3
-
A)

=c/(根号3/2)
*(sinA+
sin(π/3
-A))
那么当sinA+
sin(π/3
-A)取到最大值时，c取到最小值
sinA+
sin(π/3
-A)=sinA+
根号3/2cosA
-
1/2sinA

=
1/2sinA
+
根号3/2cosA
=sin(A+π/3)

很明显A=π/6
时上式最大为1
此时c最小
c/(根号3/2)=10，c=5根号3
所以周长最小为10+5根号3