Question

离散数学循环群题目G是15阶循环群？

如图是题目

Answer 1

1、n阶循环群<a>={e,a,a^2,...,a^(n-1)}，则a^n=e，e是单位元。生成元除了a，还可以是a^k(1＜k＜n，至于更高幂次没有讨论讨论的意义，因为一定有a^(n+k)=a^k，k＜n)，那么k一定与n互素。只要你求出b=a^k的所有不超过n-1的幂次，就会发现b^0=e,b,b^2,...,b^(n-1)一定包含了所有的e,a到a^(n-1)。
比如n=15时，k可以取值2，那么b=a^2的各个幂次的结果是：b^0=e，b=a^2，b^2=a^4，b^3=a^6，b^4=a^8，b^5=a^10，b^6=a^12，b^7=a^14，b^8=a^16=a，b^9=a^18=a^3，b^10=a^20=a^5，b^11=a^22=a^7，b^12=a^24=a^9，b^13=a^26=a^11，b^14=a^28=a^13。这样<a^2>生成的循环群还是<a>。
2、群的阶指的是元素的个数。n阶群的子群H的阶r一定是n的因子。<12>=<0>={0}里面只有一个元素，自然是1阶子群了。
3、群G的子群有两个特殊的，一个是1阶子群{e}，一个包含所有元素的自身G，这两个称为平凡子群。
G=<a>是15阶循环群，子群<a>不就是G自身嘛，貌似这个地方应该是<e>。G的子群是1阶子群<e>={e}，3阶子群<a^5>，5阶子群<a^3>，15阶子群G。