Question

离散数学题，求证循环群的子群仍是循环群？

Answer 1

设G为循环群，那么G有生成元x，使得任何非单位元g属于G，均存在最小的正整数n，满足g=x^n。因此若H是G的子群,其任何元素非单位元h，均有h=x^n的形式。

不妨设d>0是满足x^d属于H的最小整数。任取x^a属于H(a>0)。则x^(am+tn)=(x^a)^m*(x^t)^n属于H。由Euclid辗转相除法知，存在m，n使得：

am+dn=(a，d)>0，表明x^((a，d))属于H，因为a=a1*(a，d)，d=d1*(a，d)，所以x^a，x^d可由x^((a，d))生成。

因此(a，d)<=d。由于d是最小的故(a，d)=d。又x^a是在H中任意取的非单位元。故H中的任何元素均可由x^d生。即H中的非单位元均是形如x^(dn)形式。故H是循环群。

扩展资料：

循环群的性质

1、设(a)是—个循环群，(1)若|a|=∞，则(a)与整数加群Z同构；(2)若IaI=n，则(a)与模n的剩余类加群Zn同构。

2、有且仅有两个元1和-1可以作为整数加群Z的生成元，且在Z中除零元外，每个元的阶都是无限的。

3、在模n的剩余类Zn中，有(1)|[k]|=n/(k，n)；(2)[k]是Zn的生成元<=>(k，n)=1。

参考资料来源：百度百科-循环群

Answer 2

证明：设群G是一个循环群，则G必定是由一个元素生成的，取其生成元a，则有G=（a）。
H是G的一个子群（非空、运算封闭、结合律）。如果H是单位元群，则H显然是循环群。若H不是单位元群，则H中必定含有最小正幂m>0的元素a^m。
如果m<0，则a^m的逆元a^(-m)也在H内，而-m>0，所以我们取m时恒大于0。
则H中的元素都可以表示为a^m的任意乘幂，即(a^m)^n=a^(m·n)，n∈Z。假设H中存在一个元素为a^(m·n+r)，0<r<m，若这个元素不存在，则群G是由a^m生成的循环群，即得证。现在证明这个元素不可能存在。
假设群H中有a^S∈H，a^S = a^(m·n+r)，即有a^S = (a^m)^n · a^r，将a^r放置于等式一侧，可得到a^r = a^S · (a^m)^(-n)，其中a^S和a^m均是H中元素，而a^r理应也属于H。但是0<r＜m，而m是最小正数，故a^r不可能存在，即r必须等于0。
即H中任意元a^S是a^m的任意乘幂，所以H是a^m生成的循环群。

Answer 3

单位元也称为幺元,群的任何元素和它运算,保持该元素不变,如整数(实数)对普通加法0是单位元,因为对任意整数x,0+x=x,整数(实数)对普通乘法1是单位元,因为对任意整数x,1*x=x,如果一个元素自已与自已运算记为x*x,称为x的平方,x*x再与自已运算记害海愤剿莅济缝汐俯搂为x*x*x称为x的3次方,...依次下去,如果的x方幂(任意次方)能产生出所有元素,则称该元素为生成元,此时该群为循环群,比如整数对普通加法0是单位元,但0+0=0,0+0+0=0,....产生不出所有整数,故不是生成元,但1却是生成元,1+1=2,1+1+1=3,....因此单位元和生成元是两个不同的概念,一般说单位元一定不是生成元,除非是群中仅有一个元素.
在(A +5)群中,它的加法与普通加法不同,对任意A中的x,y,x+y=x与y普通加法之和用5除的余数,如3+4=2,3+3=1,2+3=0,等等,因此A中元素仅能是0 1 2 3 4 ,1+1+1+1+1=0

Answer 4

证明：设群G是一个循环群，则G必定是由一个元素生成的，取其生成元a，则有G=（a）。
H是G的一个子群（非空、运算封闭、结合律）。如果H是单位元群，则H显然是循环群。若H不是单位元群，则H中必定含有最小正幂m>0的元素a^m。
如果m<0，则a^m的逆元a^(-m)也在H内，而-m>0，所以我们取m时恒大于0。
则H中的元素都可以表示为a^m的任意乘幂，即(a^m)^n=a^(m·n)，n∈Z。假设H中存在一个元素为a^(m·n+r)，0<r<m，若这个元素不存在，则群G是由a^m生成的循环群，即得证。现在证明这个元素不可能存在。
假设群H中有a^S∈H，a^S = a^(m·n+r)，即有a^S = (a^m)^n · a^r，将a^r放置于等式一侧，可得到a^r = a^S · (a^m)^(-n)，其中a^S和a^m均是H中元素，而a^r理应也属于H。但是0<r＜m，而m是最小正数，故a^r不可能存在，即r必须等于0。
即H中任意元a^S是a^m的任意乘幂，所以H是a^m生成的循环群。